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锤炼数学思维 紧跟时代步伐——访数学学院丘维声教授

guo  2008.09.26   名师名课   评论关闭 总浏览数:7,241

摘要:科学的思维方式可以使你有兴趣、有能力去解决一个复杂的问题,对于科研和各种实际工作都有重要的意义。丘维声老师为我们讲述了如何引导学生思考、探索,接受科学思维方式的训练,通过观察、抽象、探索、猜想、论证–来分析问题的教学经验。通过丘老师三十多年的教学经历,我们也可以深深感受到丘老师令人钦佩的学风和品格。

 

记者:您好,丘老师,非常感谢您对我们工作的支持。您是一位深受学生尊敬和好评的老师,我们想请您谈一下您在教学方面的经验和感受。头绪可能比较多,您可以先谈一谈您的学习、教学经历吗?

丘老师:我1961年进入北大念书,1966年毕业。毕业时正好全国开始文化大革命,毕业分配被推迟了。1968年,我们大学毕业生响应毛主席的号召,到部队进行锻炼,接受再教育。在部队里,我们一百多个大学毕业生组成学生连,主要的工作是种水稻,前一年翻地,次年插秧,进行田间管理、割稻;第二年冬天到张家口的山区去采矿,还做过酱油,就这样度过了两年。这两年,在思想、意志方面受到了很好的磨练,但是有一点遗憾的是不让看专业书籍。

1970年,我从部队直接被分配到北京市房山县良乡中学。我在教授中学数学的同时担任了学校教育组的副组长(相当于教务处的副主任),分管良乡中学理科的教学。在工作之余我抓紧时间看专业书籍,把波兰数学家费史著的《概率论及数理统计》等书重新拿出来看。我还主动地进行科研工作,运用数理统计中的正交试验设计,到农村进行小麦喷磷施肥的试验,到良乡轮胎厂进行轮胎配方的试验等;还运用概率统计的方法对我们良乡中学的地磁、地电测量小组所测的数据进行分析,尝试摸索地震预测预报的方法。1977年我被评为北京市科学技术先进工作者,出席了北京市科学大会。

1976年,四人帮被打倒后,北大数学系的领导想将我调回北大工作,这可能与我当年(1961年)考进北大的时候是高考全国状元(数学、物理、化学、政治都是满分100分,语文89分,俄语99.2分)有一点关系。经过北京市领导的批准,1978年3月份我被调入北大工作。

在北大任教的这三十年里,除了1988年至1989年到美国加州大学伯克利分校做访问学者外,我一直坚持给本科生主讲基础课。这三十年中,我主讲了好几门课,像《高等代数》课,我就讲了十几年。我还指导了博士生13名,硕士生16名,并且进行了代数组合论、群表示论、编码和密码的研究工作。

记者:丘老师从教三十年,您觉得数学教学中最重要的是什么?

丘老师:三十年在北大,加上在良乡中学的八年,我觉得教数学最重要的就是引导学生科学地思考,让学生接受数学思维方式的熏陶。这也是我这么多年教学的一个关键点。

为什么说这个是最关键的呢?由于数学的概念和定理比较抽象,论证需要进行逻辑推理,步步有根据,因此学生可能会觉得比较难学。如果在教学中一开始就讲抽象的概念和定理,一则学生比较难以听懂,二则会影响学生以后的创造性。如果让学生习惯于老师给他东西,而不习惯于自己去思考,就不利于他在以后的工作中自己提出一些想法。在数学里,一些重要概念的提出,本身就是创新的起点,像牛顿、莱布尼茨提出的导数和微分的概念,这些概念的提出本身就是数学创新的最重要的起点。可是,我们传统的教学方式总是先把概念直接告诉学生,久而久之,学生就不具备这种意识,不会知道如何去提出一些问题。

所以,从培养学生创新意识的角度来看,教学主要是培养学生科学地思考,通过观察生活中的例子或者是数学本身的例子来提出问题,然后再启发学生自然而然引出一个基本概念。让学生明白概念是自然而然提出来的,不是从天上掉下来的,也不是从数学家脑子里蹦出来的。这样就让学生经历了一个思考的过程,而不是把知识直接端给学生,有利于学生创新意识、创新能力的培养,也鼓励了学生自己去琢磨、思考、研究一些问题。

记者:您能举个例子具体说明一下这样的教学过程吗?

丘老师:好,我就举个有理系数多项式因式分解的例子。因式分解在初中就讲过,是一个很难的问题,初中课程只能采用尝试分解的办法,大学就不能这样讲了。对有理系数多项式,首先需要对其是否可分解进行判定。如果一个次数大于0的有理系数多项式的因式只有有理数和这个多项式的有理数倍,那么称它为不可约多项式;否则,称它为可约的。一个不可约多项式就不能再分解成两个次数较低的多项式的乘积。如何判定一个有理系数多项式是否不可约呢?思路是什么呢?我在讲课时首先举了一个有理系数多项式的例子,把它的各项系数的分母的最小公倍数作为分母,提出一个分数,使得括号内的多项式的各项系数都为整数,并且把这些整数的公因数也提出去,这时括号内的多项式的各项系数的最大公因数只有1和-1,这种整系数多项式称为本原多项式。这就自然而然地引出了本原多项式的概念。一个有理系数多项式是否不可约与相应的本原多项式是否不可约是一致的,这样我们就找到了思路:去研究本原多项式是否不可约。为此需要探索本原多项式的性质。由于本原多项式的各项系数的最大公因数只有1和-1,因此直觉判断两个本原多项式如果能互相整除,那么它们只相差一个正负号;然后证明这一猜测是正确的。由于因式分解涉及到乘法,因此自然要问:两个本原多项式的乘积是否还是本原多项式?这在直观上不容易看出。可以尝试假如两个本原多项式的乘积不是本原多项式,去进行逻辑推理,得出矛盾,因此两个本原多项式的乘积一定是本原多项式。这样自然而然地得出了高斯引理。想寻找本原多项式不可约的充分条件,这犹如大海捞针。我们可以反过来思考:从一个本原多项式可约能够推出什么样的结论?从不可约多项式的定义可以得出:如果一个次数大于0的本原多项式可约,那么它可以分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积。从高斯引理我们可以进一步直觉判断它可以分解成两个次数较低的本原多项式的乘积。经过证明,这个猜测是正确的。由于本原多项式的各项系数的最大公因数只有1和-1,因此任何一个素数都不能整除它的各项系数。为了从一个本原多项式可约推出进一步的结论,我们考虑这样一种情形:对于一个次数大于0的本原多项式f(x), 存在一个素数p,它能够整除首项系数以外的其它各项系数,但是不能整除首项系数。如果f(x) 可约,那么它可以分解成两个次数较低的本原多项式的乘积。由此经过逻辑推理,得出p的平方能够整除f(x)的常数项。因此对于这样的本原多项式f(x),如果p的平方不能整除常数项,那么f(x)就不可约。这自然而然地得出了本原多项式不可约的充分条件,即存在一个素数p满足上述三个条件。这就是著名的Eisenstein判别法。传统的讲法是直接把Eisenstein判别法叙述出来,然后给予证明。那种讲法,学生对于素数p为什么要满足三个条件不太理解,尤其是对于p的平方不能整除常数项这个条件往往记不住,我们的讲法不仅使同学们对于素数p满足的三个条件印象很深刻,而且知道了Eisenstein判别法是怎么来的,受到了数学思维方式的熏陶。

记者:丘老师提到数学教学中最重要的是让学生接受到数学思维方式的熏陶,您能对数学的思维方式进行一下总结和概括吗?

丘老师:我觉得数学思维方式要经过以下几个环节:第一是观察,需要观察客观现象,不要一上来就给概念。第二是抓住主要特征抽象出概念或者建立模型。第三是探索,运用直觉判断,以及类比、归纳、联想和推理,进行探索,产生一些想法,这些想法就形成了猜想,所以第四就是形成猜想,这个猜想是真是假,必须进行论证。第五个环节是论证,这要进行深入分析、逻辑推理和计算。最后揭示出事物的内在规律,从而使纷繁复杂的客观现象变得井然有序。学生经过这种数学思维方式的熏陶,以后出去工作,即使不再搞数学,他也明白如何来思考问题。

我在加州大学伯克利分校访问的时候,发现美国的学生爱提问题,爱问为什么。我们国家的学生解题的能力很强,但是到了研究生阶段,创新能力往往不如美国的研究生。为什么数学中的许多猜想是外国人提出来,中国人跟着去证明呢?为什么中国人自己不能提出猜想呢?因为我们从中学到大学,习惯于定理是由教材和老师直接告诉的,不太讲定理是怎样探索出来的,没有进行探索的训练,就不能提出什么问题。这个探索性思维方式的形成不是一朝一夕的,而是需要在我们的教育过程中,从初中、高中到大学一点点经受数学思维方式的熏陶。这样才能慢慢习惯于经过自己的思考再给出结论。这样即使以后不搞数学了,即使过了几十年,只要曾经受过数学思维方式的熏陶,就会遵循观察、抽象、探索、猜想、论证这些思维过程,这样对于学生来说不管以后从事什么工作都是有好处的。我们有很多毕业生,包括我同辈的同学出去工作后回来聚会,都觉得数学的逻辑思维方式对他们思考问题的帮助很大,使他们终生受益。

记者:您说的非常好。思维方式的训练是非常重要并且需要长时间积累才能有明显效果的,这是一种境界和习惯的培养。遗憾的是我们的教育,尤其大学之前,太偏重于技巧和知识本身,特别在升学压力下,很多高中教育以大题量的重复训练为主。这种教育与学习方法虽不能说是一无是处,但知识缺乏系统性与逻辑性是很明显的,更主要的是可能使学生从小对学习产生错误的认识。

我上大学的时候还停留在这样的阶段–觉得学习就是记住一大堆定理,然后去做习题、套公式。工作后,我才体会到这是完全错误的,没有任何一件事情是给出充分必要条件让你去求结果和证明什么的。条件要自己找,最终的数学模型要自己建,求解倒是比较次要的问题:因为这一步你已经可以借助外界的力量来做了。实际工作要求你有很好的知识系统性与对事物本质的理解能力,把一个实际问题转变成可靠的数学模型的抽象能力。不只是科研,对其它性质的工作也很有帮助。

丘老师:对,就是要把一个实际问题抽象成一个数学问题这才是最重要的。我在讲课中常说,不要老师给你一个题目就马上急着做。以后不论你从事任何工作,人家都不会跟你说,我这儿有个数学题,你来做一做吧。别人告诉你一个问题,你需要自己把这个问题经过分析后变成一个数学问题,把这个学会才是最重要的。如果这个不学会,转化不成数学问题,就解决不了实际问题,学了数学还是不能运用。我通常强调的是要掌握数学思维过程,而不是简单的解题方法。即使数学专业的学生,最终从事纯数学科研的,也要会发现数学问题,提出数学问题,这才有可能做出创造性的工作。因此无论是搞理论研究的,还是搞应用的,最重要的还是思维方法,这样才能有创新。

记者:丘老师您从教三十年了,在这三十年中,社会和整个世界都发生了很大的变化。您觉得当初的学生和现在的学生有什么不同吗?这个对您教学有影响吗?您有没有根据社会现状调整过教学策略?

丘老师:我觉得七八十年代学生学习的积极性是非常高的,徐迟写的关于陈景润的报告文学,使得社会上对数学非常重视。当时的学生学数学的积极性比较高,所以当时讲课的目标就是让学生怎样比较容易的接受知识,讲得深入浅出。

后来到了九十年代初期,社会上有一种下海经商的风气,数学在一段时间内不太受重视。所以那几年,除了那些真正对数学非常有热情的人,一般人的积极性就不如八十年代高了。我们作为教师,就得琢磨怎样在讲课中调动学生学习的兴趣。比如学生关注应用,就得多讲些关于应用的东西。

到了二十一世纪,数学在经济金融方面应用得比较多,于是数学又被重视起来了,报考数学系的同学很多。这里面有一部分同学真的是非常喜欢数学,也有相当一部分同学是为了以后学经济金融而来学数学的,所以在讲课中既要把数学理论讲清楚,又要讲一些数学在当今时代的应用。

此外,现在同学出国的比较多,有的同学在学习过程中较多的关注成绩和绩点。其实应该关注多学一些知识,提高自己的能力。学得好,成绩自然会好。

从教三十多年,我不断研究怎么讲课学生更容易懂、更有兴趣、对他们以后的工作更有帮助,这就要了解不同学生的特点和想法。

记者:教学环境与教学要求有了很大变化,这在数学教材的编写方面有哪些反映?

丘老师:数学是大学的基础课,很多东西都是传承下来的,但是我觉得传统性和时代性要相结合。如今已经从工业革命时代进入了信息时代,我觉得写教材要根据时代发展的要求对教学内容不断进行更新调整。

记者:数学是一门传统的学科,很多基础的理论都是已经定型的东西,这种经典的东西怎样与时代相结合呢?

丘老师:数学里面很多东西都是非常经典的,我们在教学中自然要讲这些经典的内容。同时要考虑信息时代对于课程内容提出了哪些新的要求。比如,高等代数课程,传统的只讲数域上的线性空间。但是在信息技术和现代通信中大量使用二元域上的线性空间,因此我写的高等代数教材就讲任意域上的线性空间。还有矩阵分块在生物统计等领域很有用,传统的教材在这方面的训练不够,我写的教材就加强了矩阵分块的训练。

记者:您这种结合应用的讲法很好,便于理解和掌握,否则讲的知识再多,领会不了也没有意义。我觉得国内外教材有明显差别:国内教材通常信息量大,容纳的知识很多,但比较死板,更适用专业人员参考;国外教材写得一般比较灵活,过程多、事例多,知识密度比较低,但学习起来更容易一些。

除了教材,讲义与授课方面需要注意哪些问题呢?

丘老师:教材总有相对的稳定性和规范性,不可能象讲课那么灵活。从纯技术的角度来讲,授课也不能照搬教材,否则学生的注意力不可能在你讲的内容上。讲课与教材最大的区别是授课是一个引导思维和探索未知的过程,从过程和板书的次序中学生能够领悟数学思想,增长解决问题的能力。这在教材上是很难充分体现的。

记者:现在应试教育在全国是一个普遍的问题,导致学生没有足够的时间去思考知识体系,理清思路,而且很容易产生厌学情绪,培养不出学习的兴趣。这种学生到了大学后,有一个思路转变的问题,你是否关注过这样的问题?

丘老师:我常常给本科一年级的同学上课,也遇见过这种问题。从高中到大学,学生在学习方法上的确需要比较大的转变。首先,从时间上来讲,中学四十五分钟一节课,通常老师用三十分钟讲一个知识点和例题,剩下的时间让学生模仿例题做作业。大学不一样,一上就是两节课,一百分钟。从时间上来说,可能就不太适应。其次,从内容和难度上来讲,高中是对各种题型反复进行训练,简单的问题做十几遍二十几遍,练得很熟。大学上课内容比较多,根本不可能像高中一样就一个知识点出很多例题,出很多习题练习,而且大学数学本身比高中数学难度增加了很多,各种各样的类型不可能像高中一样进行归类,这些也都是难以适应的。像高中一样,讲一点东西就做题的模式,在大学里已经不行了。如果没搞清楚原理,不会分析问题,根本做不了题。

因此,在课堂上特别要注意怎样引导学生思考问题。就是我之前所讲的利用数学的思维方式–观察、抽象、探索、猜想、论证–来分析问题。拿到一个问题,特别要注意这个问题该怎么想,具体到论证的阶段,关键的想法是什么?要善于引导学生思考,不要急于把一步步怎么推理告诉学生。第一步该怎么走?我每次讲课的时候总要留一定的时间给同学思考,当然这一点时间不见得每个同学都能想出思路,但是让学生形成这个习惯。关键想法搞清楚了,之后一步步的推理就不是很难了。我总是叮嘱学生先不要急于知道怎么做,而是要先明白怎么想。把理论和概念掌握了,去指导做题,找到突破口就好办了。

记者:您的经验非常宝贵。现在数学学院师资力量新老交替情况怎样?尤其在教学方面,对青年教师的教学水平您有什么评价?

丘老师:这几年数学学院的领导对教学工作很重视,教学工作搞得很好。数学学院有不少青年教师在教学上肯下功夫,教学水平较高。

记者:您参加过学校的教学评估吗?有很多老师反映教学评估有一些问题,比如方法不够科学,或者是劳民伤财。您对这个有什么看法吗?

丘老师:教学评估90年代就开始了,一开始是学生评,后来教务部成立了评估办公室。我的《高等代数》课被评了十几次了,从我个人来讲,我觉得教学评估还是不错的。教学评估可以让我看到学生的反馈,教学中的一些优缺点的评价,提醒我适当地调整课程的难易度,对教学是很有益处的。

以前的评估项目比较多比较繁琐,有些学生可能会不用心对待,后来简化成十几项了,可能效果更好些了。我觉得建立一个学生反映的渠道,给学生一个表达想法的机会还是挺好的。如果学校不做这样的工作,老师自己就不太方便做。评估中有些不足自然是难免的,但它是一个很好的反馈的渠道。我个人来讲对评估还是比较满意的。

记者:丘老师,您认为一个优秀的老师需要具备什么样的基本素质?

丘老师:我自己对以下几点体会比较深,简单概括就是八个字:责任、激情、扎实、创新。

作为一个大学老师,尤其是北大老师,科研教学都要好,当然两者都要做好不容易,在时间上肯定是有冲突的。但是,我总觉得咱们北大有这么多从全国各地来的优秀学生,如果不把他们培养成人才的话,作为老师对不起同学,同样也对不起国家。所以,老师对待教学要有充分的责任感。

其次,要有满腔的激情。像我讲《高等代数》讲了十二年,但是我每次上课都重新备课,不去看以前的教案。尽管平时很忙,既要搞科研,还要写教材,但是我都坚持重新备课,要讲出新的水平。每次走到讲台上我都充满激情。老师讲课充满激情,学生听起来才会津津有味。

第三,教师自己要有扎实的功底。如果老师对自己的这门课程了解的不是很透的话,很难讲好。自己本身有扎实的功底,还能让你站得比较高,对整个学科看得比较透。

第四就是创新。像我现在讲《数学思维方式与创新》这门通选课,我要求自己讲课的内容就应该有创新点。老师自己没有创新就很难培养出创新的人才。

记者:您在教学与科研方面都取得了突出的成绩与贡献,能否谈一下您的主要体会?

丘老师:搞科研要潜下心来,什么都不去想,一心一意,专心致志,才能搞出成绩来。当然搞科研肯定需要一定的资金,没有资金搞不好,但是适当的资金就够了。不论做什么事情都要扎扎实实的,搞科研尤其如此。做的时候也不要去想要得什么奖,只要对这个科研课题感兴趣,就要想方设法去研究和解决这个课题。这样才能做出世界一流的科研成果。

我觉得科学工作者一辈子要为国家为人民多做些实实在在的好事,只要对国家的经济建设、国防建设有好处的就去做。不管政策怎么倾斜,我都是一样的严格要求自己,几十年都是这么过来的。

记者:好,非常感谢丘老师,今天的采访就到这里了。

 

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采访记者:郭九苓,王肖群

采访时间:2008年5月16日,上午10:00-12:00

录音整理:蒋静

文字编辑:蒋静,郭九苓

定稿时间:2008年9月25日,经丘维声老师审阅同意。

 

附:丘维声教授简介

丘维声,北京大学数学科学学院教授、博士生导师,元培学院导师。兼任中国组合数学和图论学会第一、二届常务理事,美国《数学评论》评论员,中国教育数学会副理事长,数学通报副主编。从事代数组合论、群表示论、编码和密码的研究,在国内外发表论文40余篇。承担国家自然科学基金重点项目2项。在著名的乘子猜想的研究中,取得了一系列成果,解决了n=3p^r情形的乘子猜想,引起国内外同行的密切关注和很好评价。出版著作28部,共788万字。出版译著(合译)4部。发表教学改革论文9篇。

2003年获全国高等学校首届国家级教学名师奖,1999、2001、2006年三次被评为北京大学最受学生爱戴的十佳教师,1997年获宝钢教育奖优秀教师特等奖第一名,1997年获北京市高等教育教学成果一等奖,2006年获杨芙清-王阳元院士教学科研特等奖。编著的《高等代数(上册、下册)》于1997年被评为普通高等教育“九五”国家级重点教材;《高等代数(第二版)上册、下册》于2002年被评为普通高等教育”十五”国家级规划教材;《简明线性代数》于2004年被评为北京市高等教育精品教材,2006年被评为普通高等教育“十一五”国家级规划教材。

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